【質問1】
ロードサービス費用の損害賠償請求権が被害者に発生した後、これに保険会社がロードサービス特約から支払いを行うことで、被害者が有していた損害賠償請求権が、保険会社に移転するという保険代位（保険法25条）が発生します。
したがって、本件で相手方がロードサービス特約を使用した場合、相手方は質問者様に対するロードサービス費用の請求権を失うものの、相手保険会社は質問者様に対する請求権を取得するという状態になります。
このように、相手方にロードサービス特約があるから質問者様が請求を受けないという構造にはなっていません。
以上のとおり、相手方がロードサービス特約を使おうが使うまいが、質問者様が請求を受けることになります。相手方が特約を使用していないなら、相手方の損害としてレッカー費を支払うことになるのは通常の処理です。あとは金額の妥当性の問題です。

【質問2】
請求を受けるとして、レッカー費の相当性は問題になり得ます。
相場（参考はJAFなど）を踏まえれば高額という主張はありえますが、裁判実務上、JAF基準を超えれば直ちに否定というわけではなく「ちょっとそれはさすがに高すぎでは」というレベルから一部否定としているものが多いです。
日中、一般道での事故車をレッカーするという場合、JAF基準（会員外）でも「27,700円（吊上作業があれば＋6,000円）＋搬送費1km当たり830円」がかかりますので、＋1万円程度の46,000円が不相当に高額とまでは評価しがたい印象を持ちます。よくみる金額です。
また、通常の場合、搬送先は工場とされますので、自宅まで４kmというのはあまり意味がありません。工場までの距離を確認することになります。

【質問3、4】
相殺払い後に、相殺額を甲社が払ってくれるかは、甲社との打ち合わせ次第です。
通常は、ご自身の弁護士から「これで相殺払い示談するが、甲社対物から支払い可能か」と協議して示談することになります。ご自身の弁護士にご確認ください。
なお、レッカー費の妥当性にも関わるところですが、甲社がレッカー費も含め承認している場合、損害賠償のプロであり、実際に支払いを行う立場である甲社すらレッカー費の妥当性を認めていることとなります。こうなると、金額が不相当と争うのは相当にハードルが高いといえるでしょう。

結論から言うと、質問者様の相手保険会社に対する請求は困難と考えます。

既に事実審の口頭弁論終結時（基準時）に「質問者様の相手方に対する請求権は存在しない」ということが既判力で確定しており、基準時前に存在した事実を用いることは最早できません（時的限界）。基準時前に存在した事実であれば、弁論主義に基づき、基準時前に信義則違反なども含め主張立証すべきとされているからです。なお、その事実を知らなかったとしても既判力は排除されません。
したがって「健康保険組合へ相手保険会社が支払いを行った」という基準時前の事実を根拠に、質問者様の相手方に対する請求権を新たに主張することはできません。

さらに、既判力は蒸し返し防止のためにもありますから、その判断は「実質的に同じような請求か」という点から行われます。
このため、相手方保険会社が健保に対しては支払っているのは不公平だ、という理由はともかく、
・相手方が質問者様に与えた損害の75％相当額を支払えというのが新請求の実質
・相手保険会社は相手方の賠償義務の範囲で支払いを行うという建付けであり、同じような立ち位置
という点から、実質的には相手方への再請求と同質であるとして排除されると思います。